题目内容
【题目】函数(
,
是自然对数的底数,
)存在唯一的零点,则实数
的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
函数(
,
是自然对数的底数,
)存在唯一的零点等价于函数
与函数
只有唯一一个交点,由于
,
,可知
与
的交点为
,分别研究
与
的单调,根据单调得到
与
的大致图像,从图形上可得要使函数
与函数
只有唯一一个交点,则
, 即可解得实数
的取值范围。
函数(
,
是自然对数的底数,
)存在唯一的零点等价于函数
与函数
只有唯一一个交点,
,
,
函数
与函数
唯一交点为
,
又
,且
,
,
在
上恒小于零,即
在
为单调递减函数,
又
是最小正周期为2,最大值为
的正弦函数,
可得函数
与函数
的大致图像如图:
要使函数
与函数
只有唯一一个交点,则
,
,
,
即
,解得
,
又
所以实数的范围为
。
故答案选A
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