Question

，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{a_n}满足a₁=4，f(log3-

an+1

4

)f(-1-log3

an

4

)=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小．

Answer 1

（1）由题设知f(log3-

an+1

4

)f(-1-log3

an

4

)=1（n∈N^*），可化为f(log3

an+1

4

-1-log3

an

4

)=f(0)．
所以有log3+

an+1

4

-1-log3

an

4

=0，
即log3

an+1

4

-log3

an

4

=1．
因此数列{log3

a1

4

}是以log3

a1

4

=0为首项，1为公差的等差数列．
所以log3

an

4

=n-1，即a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．
（2）S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=4（1+3¹+3²++3^n-1）=2（3ⁿ-1），
当n=1时，有S_n=6n²-2=4；
当n=2时，有S_n=16＜6n²-2=22；
当n=3时，有S_n=6n²-2=52；
当n=4时，有S_n=160＞6n²-2=94；
当n=5时，有S_n=484＞6n²-2=148；
…
由此猜想当n≥4时，有S_n＞6n²-2，
即3^n-1＞n²．
下面由数学归纳法证明：
①当n=4时，显然成立；
②假设n=k（k≥4，k∈N^*）时，有3^k-1＞k²．
当n=k+1时，3^k=3×3^k-1＞3k²，
因为k≥4，所以k（k-1）≥12．
所以3k²-（k+1）²=2k（k-1）-1＞0，
即3k²＞（k+1）²．
故3^k＞3k²＞（k+1）²，
因此当n=k+1时原式成立．
由①②可知，当n≥4时，有3^n-1＞n²，
即S_n＞6n²-2．
故当n=1，3时，有S_n=6n²-2；
当n=2时，有S_n＜6n²-2；
当n≥4时，有S_n＞6n²-2．