题目内容
【题目】如图,已知直三棱柱中,,,,,分别是,,的中点,点在直线上运动,且.
(1)证明:无论取何值,总有平面;
(2)是否存在点,使得平面与平面的夹角为?若存在,试确定点的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在点,且当时,满足平面与平面的夹角为.
【解析】
(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,写出所需点的坐标,由求出点坐标,然后证明,即可;
(2)只需根据条件出平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式并结合平面与平面的夹角为,建立方程求解即可得出结论.
(1)如图,以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
由,可得点,
所以,.
又,所以,,
所以,,又,所以平面,
所以无论取何值,总有平面 .
(2)设是平面的法向量,,,
则,即,得,
令,所以是平面的一个法向量.
取平面的一个法向量为.
假设存在符合条件的点,则,
化简得,解得或(舍去).
综上,存在点,且当时,满足平面与平面的夹角为.
【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,,,,,,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】已知平面直角坐标系,直线过点,且倾斜角为,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程和圆的标准方程;
(2)设直线与圆交于、两点,若,求直线的倾斜角的值.
【题目】据统计,某地区植被覆盖面积公顷与当地气温下降的度数之间呈线性相关关系,对应数据如下:
公顷 | 20 | 40 | 60 | 80 |
3 | 4 | 4 | 5 |
请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
根据中所求线性回归方程,如果植被覆盖面积为300公顷,那么下降的气温大约是多少?
参考公式:线性回归方程;其中,.