题目内容
已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求 的取值范围;
(3)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
(1)(2)(3)
解析试题分析:(1)由截距式可得直线的方程,根据点到线的距离公式可得间的关系,又因为,解方程组可得的值。(2)由点关于直线的对称点问题可知直线和直线垂直,且的中点在直线上,由此可用表示出。再将点代入椭圆方程将用表示代入上式,根据椭圆方程可的的范围,从而可得出所求范围。(3)将直线和椭圆方程联立,消去得关于的一元二次方程,根据韦达定理可得根与系数的关系。根据题意可知,可根据斜率相乘等于列出方程,也可转化为向量数量积为0列出方程。
试题解析:(Ⅰ)因为,,所以 .
因为原点到直线:的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为. 4分
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为,
所以 解得 ,.
所以.
因为点在椭圆:上,所以.
因为, 所以.所以的取值范围为. 8分
(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知.
设,,的中点是,
则,.
所以. 所以.
即 . 又因为,
所以.
所以 13分
考点:1点到线的距离; 2椭圆方程;3点关于线的对称点;4转换思想。
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