题目内容
已知双曲线
的中心为原点
，左、右焦点分别为
、
，离心率为
，点
是直线
上任意一点，点
在双曲线
上，且满足
.
（1）求实数
的值；
（2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为
，过点作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
，在线段
上去异于点、的点
，满足
，证明点恒在一条定直线上.
（1）
；（2）详见解析；（3）详见解析.
解析试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为
，点的坐标为
，利用条件确定
与
、
之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为
、
，结合（2）得到
，
，引入参数
，利用
转化为相应的条件
，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式
，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为
，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为
，结合韦达定理化简为
，最后利用点在直线上得到，从而消去
得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为
，由于
，解得
，
故双曲线的方程为
；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点
，
则
，
，
，因此点的坐标为
，
故直线的斜率
，直线的斜率为
，
因此直线与直线的斜率之积为
，
由于点
在双曲线上，所以
，所以
，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点
且过点
的直线与双曲线的右支交于不同的两点
练习册系列答案
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+
=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
·
+
·
=8,求k的值.
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
＋
为定值，并求出这个定值．
:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
的方程；
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围；
交椭圆
,
,且
为圆心的圆上,求
的值.
)，且长轴长与短轴长的比是
过点
，且离心率
.
的标准方程；
与椭圆
，
两点（
不是左右顶点），椭圆的右顶点为
，且满足
，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
，求双曲线的离心率．
、抛物线
的焦点均在
轴上，
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：
、
、
、
．
，
在抛物线
的标准方程；
的坐标并求出椭圆
且满足
，试求出直线的方程．