Question

如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x²=2py(p>0)上.

(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

Answer 1

(1) x²=4y   (2)见解析

解析(1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.
设B(x,y),则x="|OB|sin" 30°=4,
y="|OB|cos" 30°=12.
因为点B(4,12)在x²=2py上,
所以(4)²=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x²=4y.
(2)证明:由(1)知y=x²,y′=x.
设P(x₀,y₀),则x₀≠0,y₀=,且l的方程为
y-y₀=x₀(x-x₀),即y=x₀x-.
由得
所以Q为.
设M(0,y₁),令·=0对满足y₀=(x₀≠0)的x₀,y₀恒成立.
由于=(x₀,y₀-y₁),  =,
由·=0,
得-y₀-y₀y₁+y₁+=0,
即(+y₁-2)+(1-y₁)y₀=0.(*)
由于(*)式对满足y₀=(x₀≠0)的y₀恒成立,
所以
解得y₁=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).