题目内容
【题目】如图,三棱柱中,侧面
为菱形且
,
,
分别为
和
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)证明:直线∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(I)取中点
,可证
,
,
两两互相垂直,建立以
为原点,
分别为
轴,建立空间直角坐标系,得出各点坐标,可求
与平面
的法向量,利用两向量垂直可证结论;(II)先求出二面角两半平面的法向量,利用法向量夹角与二面角平面角间关系可得结果.
试题解析:解法一:∵,且
为中点,
,∴
,
又 ,
,∴
,
,
又 ,∴
平面
,
取中点
,则
,即
,
,
两两互相垂直,
以为原点,
分别为
轴,建立空间直角坐标系如图(4), ∴
,
,
,
,
,
,
(I) ,设平面
的法向量为
,
则,取
,
∵,∴
,
又平面
, ∴直线
∥平面
.
(II) 设平面的法向量为
,
,
则 ,取
,
又由(Ⅰ)知平面的法向量为
,设二面角
为
,
∴,
∵ 二面角为锐角,∴ 二面角
的余弦值为
.
解法二:取中点
,则
,即
,以
为原点,
,
分别为
轴,
建立空间直角坐标系如图(5),设点,
又,
,
∴,即
,∴
,
由 ,
,
可得:
,解得
,
∴,
,
,
下同解法二.
解法三:(Ⅰ)如图(6),取中点
,连接
,则有
,
∴为平行四边形, ∴
∥
,
又平面
,
平面
,∴ 直线
∥平面
.
(Ⅱ)由各棱长,易得,∴
平面
,
取中点
,连接
,过
作
于
,连接
,
如图(8),可证: 平面
,
证明平面
,可得
,
故为所求的二面角的平面角,
在中,求得:
,故所求的二面角的余弦值为
.
解法四:
(Ⅰ)如图(7),取中点
,由
∥
,
平面
,∴ 直线
∥平面
,
由∥
,
平面
,
∴ 直线∥平面
,
又,∴平面
∥平面
,
又平面
, ∴ 直线
∥平面
.
(Ⅱ)同解法一.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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