题目内容

如图,已知双曲线C1=1(m>0,n>0),圆C2:(x-2)2+y2=2,双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切,且双曲线C1的一个顶点A与圆心C2关于直线y=x对称,设斜率为k的直线l过点C2
(1)求双曲线C1的方程;
(2)当k=1时,在双曲线C1的上支上求一点P,使其与直线l的距离为2.

【答案】分析:(1)设双曲线的渐近线为y=±x,由双曲线C1的两渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=2相切及由A(0,)与圆心C2(2,0)关于直线y=x对称,求出m,n的值,从而能求出双曲线的方程.
(2)当k=1时,由l过点C2(2,0)知直线l的方程,设双曲线C1上支上一点P(x,y)到直线l的距离为2,建立关于点P坐标的方程组,由此能求出P点的坐标.
解答:解:(1)双曲线C1的两条渐近线方程为:
y=±x,顶点A为(0,
∵双曲线C1的两渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=2相切
=
=1                  ①
又∵A(0,)与圆心C2(2,0)关于直线y=x对称
=2                    ②
由①、②解得:m=n=4
故双曲线C1的方程为:y2-x2=4
(2)当k=1时,由l过点C2(2,0)知:
直线l的方程为:y=x-2
设双曲线C1上支上一点P(x,y)到直线l的距离为2,则
y2-x2=4,且=2,
又∵点P(x,y)在双曲线C1的上支上,故y>0
解得:x=2,y=2
故点P的坐标为(2,2).
点评:本题考查轨迹方程的求法和已知k的值及此时P点的坐标.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,灵活运用双曲线的性质,合理地进行等价转化.
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