Question

如图，已知双曲线C₁：

y2

m

-

x2

n

=1（m＞0，n＞0），圆C₂：（x-2）²+y²=2，双曲线C₁的两条渐近线与圆C₂相切，且双曲线C₁的一个顶点A与圆心C₂关于直线y=x对称，设斜率为k的直线l过点C₂．
（1）求双曲线C₁的方程；
（2）当k=1时，在双曲线C₁的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的渐近线为y=±

m n

x，由双曲线C₁的两渐近线与圆C₂：（x-2）²+y²=2相切及由A（0，

m

）与圆心C₂（2，0）关于直线y=x对称，求出m，n的值，从而能求出双曲线的方程．
（2）当k=1时，由l过点C₂（2，0）知直线l的方程，设双曲线C₁上支上一点P（x₀，y₀）到直线l的距离为2，建立关于点P坐标的方程组，由此能求出P点的坐标．

解答：解：（1）双曲线C₁的两条渐近线方程为：
y=±

m n

x，顶点A为（0，

m

）
∵双曲线C₁的两渐近线与圆C₂：（x-2）²+y²=2相切
∴

|±2 m n |

1+ m n

=

2

即

2m

m+n

=1                  ①
又∵A（0，

m

）与圆心C₂（2，0）关于直线y=x对称
∴

m

=2                    ②
由①、②解得：m=n=4
故双曲线C₁的方程为：y²-x²=4
（2）当k=1时，由l过点C₂（2，0）知：
直线l的方程为：y=x-2
设双曲线C₁上支上一点P（x₀，y₀）到直线l的距离为2，则
y₀²-x₀²=4，且

|x0-y0-2|

2

=2，
又∵点P（x₀，y₀）在双曲线C₁的上支上，故y₀＞0
解得：x₀=2，y₀=2

2

．
故点P的坐标为（2，2

2

）．

点评：本题考查轨迹方程的求法和已知k的值及此时P点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．