Question

8．试比较3ⁿ与（n+1）²（n∈N^*）的大小，并证明．

Answer 1

分析 当n=1时，可得3¹＜（1+1）²；当n=2时，3²=（2+1）²；当n≥3时，3ⁿ＞（n+1）²（n∈N^*）．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：当n=1时，3¹=3，（1+1）²=4，∴3¹＜（1+1）²；
当n=2时，3²=9，（2+1）²=9，∴3²=（2+1）²；
当n≥3时，3ⁿ＞（n+1）²（n∈N^*）．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=3时，左边=3³=27，右边=（3+1）²=16，∴左边＞右边．
假设当n=k≥3时成立，即3^k＞（k+1）²．
则当n=k+1时，左边=3^k+1=3•3^k＞3（k+1）²，
而3（k+1）²-（k+1+1）²=2k²+2k-1＞0，
∴3^k+1＞（k+2）²，
因此当n=k+1时，3ⁿ＞（n+1）²（n∈N^*）．
综上可得：对于?n∈N^*，3ⁿ＞（n+1）²成立．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．