题目内容
(2010•深圳二模)已知向量
=(sinx,-cosx),
=(cosθ,-sinθ),其中0<θ<π.函数f(x)=
•
在x=π处取最小值.
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若sinB=2sinA,f(C)=
,求A.
m |
n |
m |
n |
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若sinB=2sinA,f(C)=
1 |
2 |
分析:(Ⅰ)通过向量的数量积以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过x=π处取最小值求θ的值;
(Ⅱ)发一:通过f(C)=
,求出C的值,利用三角形的内角和与sinB=2sinA,通过三角代换直接求A.
法二:通过f(C)=
,求出C的值,利用正弦定理和余弦定理,求出B,然后求出A.
(Ⅱ)发一:通过f(C)=
1 |
2 |
法二:通过f(C)=
1 |
2 |
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
•
=sinxcosθ+cosxsinθ=sin(x+θ)…(2分)
又∵函数f(x)在x=π处取最小值,∴sin(π+θ)=-1,即 sinθ=-1…(3分)
又0<θ<π,∴θ=
…(5分)∴f(x)=sin(x+
)=cosx…6 分
(Ⅱ)法一:∵f(C)=
,∴cosC=
∵0<C<π,∴C=
. …8 分
∵A+B+C=π,∴B=
-A…(9分)
代入sinB=2sinA中,∴sin(
-A)=2sinA,∴sin
cosA-cos
sinA=2sinA,
∴tanA=
,…(10分)
∵0<A<π,∴A=
. …(12分)
(Ⅱ)法二:∵f(C)=
,∴cosC=
∵0<C<π,∴C=
. …8 分
∵sinB=2sinA,由正弦定理有b=2a. …(9分)
又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+4a2-2a•2a•cos
=3a2
∴a2+c2=b2,∴B=
…(11分)
∵A+B+C=π,∴A=
. …(12分)
m |
n |
又∵函数f(x)在x=π处取最小值,∴sin(π+θ)=-1,即 sinθ=-1…(3分)
又0<θ<π,∴θ=
π |
2 |
π |
2 |
(Ⅱ)法一:∵f(C)=
1 |
2 |
1 |
2 |
π |
3 |
∵A+B+C=π,∴B=
2π |
3 |
代入sinB=2sinA中,∴sin(
2π |
3 |
2π |
3 |
2π |
3 |
∴tanA=
| ||
3 |
∵0<A<π,∴A=
π |
6 |
(Ⅱ)法二:∵f(C)=
1 |
2 |
1 |
2 |
π |
3 |
∵sinB=2sinA,由正弦定理有b=2a. …(9分)
又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+4a2-2a•2a•cos
π |
3 |
∴a2+c2=b2,∴B=
π |
2 |
∵A+B+C=π,∴A=
π |
6 |
点评:本题通过向量的数量积,考查三角函数的基本公式的应用,正弦定理与余弦定理的应用,考查计算能力,好题,常考题型.
练习册系列答案
相关题目