题目内容

解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)满足下列条件:

①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立;

②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2+1恒成立.

(1)

f(1)的值

(2)

f(x)的解析式

(3)

求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈时,就有f(x+t)≤x成立.

答案:
解析:

(1)

在(2)中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1          3分

(2)

由(1)知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=

f(x)=(x+1)2                     4分

(3)

假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x+t)≤x(x+t+1)2≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.

g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1-t+2≤1-(-4)+2=9

t=-4时,对任意的x∈[1,9]

恒有g(x)≤0,∴m的最大值为9.

文科:(3)f(x+t)≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0

g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,3].

 ∴-4≤t≤-4+2

∴tmax=-4+2


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