题目内容
12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为（ ）| A． | （-∞，3） | B． | （0，3] | C． | [0，3] | D． | （0，3） |
分析 题中原方程f2（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．
解答 解：根据题意作出f（x）的简图：
由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解”，
可以分解为形如关于k的方程k2-bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．
列式如下：$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4c＞0}\\{0＜\frac{b}{2}＜1}\\{{0}^{2}-b×0+c＞0}\\{{1}^{2}-b+c≥0}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{c＜\frac{{b}^{2}}{4}}\\{1-b+c≥0}\\{c＞0}\\{0＜b＜2}\end{array}\right.$，
此不等式组表示的区域如图：
令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0，
所以b+c的取值范围为（0，3），
故选：D．
点评 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．
练习册系列答案
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17．若函数f（x）=$\frac{|cosx|}{sinx+3}$-m有零点，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | [0，1） | B． | [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | C． | [0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$] | D． | （1，$\frac{\sqrt{2}}{4}$] |
20．若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（ ）
| A． | （-$\frac{5}{4}$，-1） | B． | （-1，-$\frac{3}{4}$） | C． | （-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$） | D． | （-$\frac{3}{4}$，0） |
7．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为（ ）
| A． | $\frac{9}{2}$ | B． | $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ | C． | 3$\sqrt{2}$ | D． | 3 |