Question

4．设$\overrightarrow{a}$=（1+cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（1-cosβ，sinβ ），α∈（0，π），β∈（π，2π），$\overrightarrow{a}$与x轴正半轴的夹角为θ₁，$\overrightarrow{b}$与x轴正半轴的夹角为θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 根据向量数量积的坐标运算及三角函数的和角公式计算即可．

解答 解：记θ₁=α，θ₂=β，则α+β=θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$
=$\sqrt{（1+cosα-1+cosβ，sinα-sinβ）^{2}}$
=$\sqrt{（cosα+cosβ）^{2}+（sinα-sinβ）^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}α+2cosαcosβ+co{s}^{2}β+si{n}^{2}α-2sinαsinβ+si{n}^{2}β}$
=$\sqrt{2+2（cosαcosβ-sinαsinβ）}$
=$\sqrt{2+2cos（α+β）}$
=$\sqrt{2+2cos\frac{π}{3}}$
=$\sqrt{2+2×\frac{1}{2}}$
=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的和角公式，向量的减法运算，向量的数量积，求向量模，注意解题方法的积累，属于中档题．