Question

9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（　　）
①已知f（x）=x²+bx+c是偶函数，则b=0
②若函数f（x）的值域为[0，2]，则函数f（2x）的值域为[0，2]
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．
⑤如果二次函数y=3x²+2（a-1）x+b在区间（-∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是a≤-2．

• A． ①②⑤
• B． ①②④⑤
• C． ①②③⑤
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①利用偶函数的性质可得：f（-x）=f（x），化为2bx=0，对于任意实数x都成立，则b=0，即可判断出正误；
②由函数f（x）的值域为[0，2]，则函数f（2x）的值域没有改变，即可判断出正误；
③由函数f（x）的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，解得x即可得出函数f（2x）的定义域为，即可判断出正误；
④映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射为：f（b）=0，f（a）=0，-1，1，共有3个，即可判断出正误．
⑤利用二次函数的单调性可得：1≤$-\frac{2（a-1）}{3×2}$，解得a范围，即可判断出正误．

解答 解：对于①，∵f（x）=x²+bx+c是偶函数，∴f（-x）=f（x），化为2bx=0，对于任意实数x都成立，则b=0，正确；
对于②，若函数f（x）的值域为[0，2]，则函数f（2x）的值域没有改变，仍然为[0，2]，正确；
对于③，若函数f（x）的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，解得0≤x≤1，则函数f（2x）的定义域为[0，1]，因此不正确；
对于④，集合P={a，b}，Q={-1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射为：f（b）=0，f（a）=0，-1，1，共有3个，正确．
对于⑤，如果二次函数y=3x²+2（a-1）x+b在区间（-∞，1]上是减函数，则1≤$-\frac{2（a-1）}{3×2}$，解得a≤-2．那么a的取值范围是a≤-2．因此正确．
综上可知：正确的为①②④⑤．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性、定义域与值域等性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．