Question

已知y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），若方程f（x）+x-1=0与f^-1（x）+x-1=0的实数解分别为α，β，则α+β=

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   -1
4. D.
   -2

Answer 1

A
分析：将原方程f（x）+x-1=0化成：f（x）=1-x，f^-1（x）+x-1=0化成：f^-1（x）=1-x，再分别画出式子两边对应的函数图象，将原方程的解转化成图象的交点问题，再结合互为反函数的两个函数的图象的对称关系，得出α，β的中点的横坐标是直线y=x与y=1-x交点的横坐标，，最后利用中点坐标公式即可求得结果．
解答：解：方程f（x）+x-1=0化成：f（x）=1-x，
f^-1（x）+x-1=0化成：f^-1（x）=1-x，
分别画出函数y=f（x），y=f^-1（x），y=1-x的图象，如图．
原方程的根看成是图象的交点的横坐标，
由于函数y=f（x），y=f^-1（x）的图关于直线 y=x对称，
∴α，β的中点的横坐标是直线y=x与y=1-x交点的横坐标，
直线y=x与y=1-x交点的横坐标是：
由中点坐标公式得：α+β=1．
故选A．
点评：本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系，考查了数形结合的思想，函数与方程思想．属于基础题．