题目内容
已知函数在与时,都取得极值.
(1)求的值;
(2)若,求的单调区间和极值;
(3)若对都有恒成立,求的取值范围.
(1);(2)f (x)的递增区间为(-∞,-),及(1,+∞),递减区间为(-,1),当x=-时,f (x)有极大值,f (-)=;当x=1时,f (x)有极小值,f (1)=-;(3)或.
解析试题分析:(1)函数的极值点是使导数等于0的的值,因此本题中一定有和,由此可解出的值;(2)再由可求出,而求单调区间,很显然是解不等式(得增区间)或(得减区间),然后可得相应的极大值和极小值;(3)不等式恒成立,实际上就是当时的最大值小于,因此问题转化为先求在上的最大值,然后再解不等式即可.
试题解析:(1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0.
由题设,x=1,x=-为f ′(x)=0的解.
-a=1-,=1×(-).∴a=-,b=-2 3分
经检验得:这时与都是极值点. …4分
(2)f (x)=x3-x2-2 x+c,由f (-1)=-1-+2+c=,c=1.
∴f (x)=x3-x2-2 x+1.
∴f(x)的递增区间为(-∞,-),及(1,+∞),递减区间为(-,1).
当x=-时,f (x)有极大值,f (-)=;
当x=1时,f (x)有极小值,f (1)=- …8分
(3)由(1)得,f′(x)=(x-1)(3x+2),f (x)=x3-x2-2 x+c,
f (x)在[-1,-及(1,2]上递增,在(-,1)递减.
而f (-)=--++c=c+.f (2)=8-2-4+c=c+2.
∴ f (x)在[-1,2]上的最大值为c+2.∴ ,∴
∴ 或∴ 或 12分
考点:(1)导数与极值;(2)导数与单调区间;(3)不等式恒成立问题.