题目内容

（1）不等式2|x|+|x-1|＜2的解集是
（2）在极坐标系中，过点（2 $数学公式$ ， $数学公式$ 作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为．

解：（1）由不等式2|x|+|x-1|＜2可得① $\text{[math]}$ ，或 ② $\text{[math]}$ ，或 ③ $\text{[math]}$ ．
解①得- $\text{[math]}$ ＜x＜0，解②得0≤x＜1，解③得 x∈∅．
故不等式的解集为（- $\text{[math]}$ ，1），
故答案为（- $\text{[math]}$ ，1）．
（2）点（2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直角坐标为（2，2），圆ρ=4sinθ 即 ρ²=4ρsinθ，化简可得 x²+（y-2）²=4，表示以（0，2）为圆心、以2为半径的圆．
由题意可得，圆的切线斜率不存在，故切线方程为 x=2，化为极坐标方程为ρcosθ=2，
故答案为 ρcosθ=2．
分析：（1）把要求的不等式化为① $\text{[math]}$ ，或 ② $\text{[math]}$ ，或 ③ $\text{[math]}$ ，分别求出①②③的解集，取并集即得所求．
（2）求出切线经过的点的直角坐标，再求出圆的直角坐标方程，求出圆的切线方程，再化为极坐标方程．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，极坐标方程与直角坐标方程的互化，求圆的切线方程，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．