Question

（1）不等式2|x|+|x-1|＜2的解集是

（-

1

3

，1）

（2）在极坐标系中，过点（2

2

，

π

4

)作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为

ρcosθ=2

．

Answer 1

分析：（1）把要求的不等式化为①

x＜0 -3x+1＜2

，或 ②

0≤x＜1 x+1＜2

，或 ③

x≥1 3x-1＜2

，分别求出①②③的解集，取并集即得所求．
（2）求出切线经过的点的直角坐标，再求出圆的直角坐标方程，求出圆的切线方程，再化为极坐标方程．

解答：解：（1）由不等式2|x|+|x-1|＜2可得①

x＜0 -3x+1＜2

，或 ②

0≤x＜1 x+1＜2

，或 ③

x≥1 3x-1＜2

．
解①得-

1

3

＜x＜0，解②得0≤x＜1，解③得 x∈∅．
故不等式的解集为（-

1

3

，1），
故答案为 （-

1

3

，1）．
（2）点（2

2

，

π

4

)的直角坐标为（2，2），圆ρ=4sinθ 即 ρ²=4ρsinθ，化简可得 x²+（y-2）²=4，表示以（0，2）为圆心、以2为半径的圆．
由题意可得，圆的切线斜率不存在，故切线方程为 x=2，化为极坐标方程为ρcosθ=2，
故答案为 ρcosθ=2．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，极坐标方程与直角坐标方程的互化，求圆的切线方程，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．