Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）若AD=2AB=2，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值；
（3）当

AD

AB

为何值时，PB⊥AC？

Answer 1

分析：（1）要证PB∥平面EAC，根据线面平行的判定定理，只需证明PB平行于平面EAC中的一条直线．连接BD交AC于O，连接EO，因为O、E分别为BD、PD的中点，根据三角形的中位线的性质，可知EO∥PB，从而问题得证；
（2）设N为AD中点，连接PN，BN，则PN⊥AD，从而可得∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角，进而可求PB与平面ABCD所成角正切值；
（3）由（2）知，NB为PB在面ABCD上的射影，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，利用Rt△NAB∽Rt△CBA，可求得

AD

AB

=

2

时，PB⊥AC．

解答：（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，
因为O、E分别为BD、PD的中点，
所以EO∥PB，…（2分）
因为E0?平面EAC，PB?平面EAC，
所以PB∥平面EAC．…（4分）
（2）解：设N为AD中点，连接PN，BN，则PN⊥AD…（5分）
又面PAD⊥底面ABCD，
所以PN⊥底面ABCD…（6分）
所以∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角，…（7分）
又AD=2AB=2，则PN=

3

，NB=

2

，…（8分）
所以tan∠PBN=

3

2

=

6

2

，
即PB与平面ABCD所成角正切为值

6

2

…（9分）
（3）由（2）知，NB为PB在面ABCD上的射影，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC．（10分）
在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x，AN=

1

2

，
由∠ANB=∠BAC，得Rt△NAB∽Rt△CBA，…（11分）

AN

AB

=

AB

BC

⇒AB2=AN•BC⇒x2=

1

2

解之得：x=

2

2

，…（13分）
所以，当

AD

AB

=

2

时，PB⊥AC．…（14分）

点评：本题考查的重点是线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角，解题的关键是正确运用线面垂直的判定，正确作出线面角，有综合性．