题目内容
已知O为坐标原点，F为椭圆
在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为
的直线
与C交与A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明
互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。
思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.
【精讲精析】 (I)设
直线
，与
联立得
由得
,
所以点P在C上。
（II）法一：
同理
所以互补，
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。
法二：由
和题设知，
,PQ的垂直平分线
的方程为
…①
设AB的中点为M，则
，AB的垂直平分线
的方程为
…②
由①②得、的交点为
,
,
,
故
.
所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.
练习册系列答案
相关题目
已知O为坐标原点，F为椭圆C：
•
=-4，则点A的坐标是 ．
在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
。