Question

【题目】已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,经过左焦点F1(-1,0)的直线l与椭圆G相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且点C在线段AB上.

(1)求椭圆G的方程;

(2)若|AF1|=|CB|,求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

⑴设椭圆焦距为2c运用离心率公式和的关系，即可得到椭圆方程

⑵由题意可知直线斜率存在,可设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程

(1)设椭圆焦距为2c,由已知可得,且c=1,

所以a=2,即有b2=a2-c2=3,

则椭圆G的方程为=1.

(2)由题意可知直线l斜率存在,可设直线l:y=k(x+1),由消y,

并化简整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.

由题意可知Δ>0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

因为点C,F1都在线段AB上,且|AF1|=|CB|,

所以,即(-1-x1,-y1)=(x2,y2-yC),

所以-1-x1=x2,即x1+x2=-1,

所以x1+x2==-1,

解得k2=,即k=±.

所以直线l的方程为y=(x+1)或y=-(x+1).