题目内容
【题目】已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0,曲线C2的参数方程为 (α为参数),将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的 倍,得到曲线C3 .
(1)写出曲线C1的参数方程和曲线C3的普通方程;
(2)已知点P(0,2),曲线C1与曲线C3相交于A,B,求|PA|+|PB|.
【答案】
(1)解:曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0,
可得普通方程为x﹣y+2=0,
则C1的参数方程为 (t为参数),
由曲线C2的参数方程为 (α为参数),
可得 ,
即有C3的普通方程为x2+y2=9.
(2)解:C1的标准参数方程为 (t为参数),
与C3联立可得t2+2 t﹣5=0,
令|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,由韦达定理,
则有t1+t2=﹣2 ,t1t2=﹣5,
则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=
= =2
【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ化直线方程为普通方程,写出过P(0,2)的直线参数方程,由题意可得 ,运用同角平方关系化为普通方程;(2)将直线的参数方程代入曲线C3的普通方程,可得t的方程,运用韦达定理和参数的几何意义,即可得到所求和.
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