题目内容

【题目】已知曲线为曲线上一动点,过作两条渐近线的垂线,垂足分别是.

1)当运动到时,求的值;

2)设直线(不与轴垂直)与曲线交于两点,与轴正半轴交于点,与轴交于点,若,且,求证为定点.

【答案】1;(2)证明见解析;

【解析】

1)确定两条渐近线方程,求出点到两条渐近线的距离,再计算夹角的余弦值,应用向量的数量积公式,即可求得结论.

2)设而不解,联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系,再利用向量式,将表示出来,代入化简即可证得为定点.

解:(1)由曲线,得渐近线方程为,作示意图如图所示:

,则

.

2)设,设直线的斜率为

,又,得

,则,即

,又,同理,

,则

,又,得,即为定点.

练习册系列答案
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【题目】新能源汽车已经走进我们的生活,逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售,预售场面异常火爆,故该经销商采用竞价策略基本规则是:①竞价者都是网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与竞价的总人数;②竞价采用一月一期制,当月竞价时间截止后,系统根据当期汽车配额,按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加20206月份的汽车竞价,他为了预测最低成交价,根据网站的公告,统计了最近5个月参与竞价的人数(如下表)

月份

2020.01

2020.02

2020.03

2020.04

2020.05

月份编号

1

2

3

4

5

竞拍人数(万人)

0.5

0.6

1

1.4

1.7

1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞价人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程:,并预测20206月份(月份编号为6)参与竞价的人数;

2)某市场调研机构对200位拟参加20206月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查,得到如表所示的频数表:

报价区间(万元)

频数

20

60

60

30

20

10

i)求这200位竞价人员报价的平均值和样本方差s2(同一区间的报价用该价格区间的中点值代替)

ii)假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布μσ2可分别由(i)中所示的样本平均数s2估计.2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174,根据市场调研,最低成交价高于样本平均数,请你预测(需说明理由)最低成交价.

参考公式及数据:

①回归方程,其中

③若随机变量X服从正态分布

.

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