题目内容
【题目】已知椭圆C： 
=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1， 
）
（1）椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．
①当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长；
②求△MF1N的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF1N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．
【答案】
（1）解：由已知，得a2﹣b2=c2=1，且 
，
解得：a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为 
；
（2）解：①直线l的方程为y=x﹣1，
联立 
，消去x得，7x2﹣8x﹣8=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则 
．
∴|MN|= 
= 
；
②设直线l的方程为：x=my+1，由 
，得
（3m2+4）y2+6my﹣9=0．
△=（6m）2+36（3m2+4）=144m2+144＞0．
．
设△MF1N的内切圆半径为r，由 
可知，
当 
最大时，r也最大，△MF1N的内切圆面积也最大．
由 
= 
．
令t= 
，则t≥1，且m2=t2﹣1，则 
．
令f（t）= 
，
则 
，从而f（t）在区间[1，+∞）上单调递增，
故有f（t）≥f（1）=4．
∴ 
．
即当t=1，m=0时， 有最大值3，即 
．
这时△MF1N的内切圆面积的最大值为 
，直线l的方程为x=1．
【解析】（1）由椭圆的焦距2c=1结合隐含条件得关于a，b的一个方程，再由椭圆过点P（1， 
）得另一方程，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）①写出直线l的方程和椭圆方程联立后由弦长公式求得|MN|的长；②设出直线l的方程x=my+1，和椭圆方程联立，得到当 最大时，r也最大，△MF1N的内切圆面积也最大，利用根与系数关系把△MF1N的面积转化为含有m的代数式，换元后利用导数判断其单调性，由函数单调性求得最值并得到直线l的方程．
