Question

（2010•昆明模拟）已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C：y=x²+1相切于第一象限内的点P．
（I）求点P的坐标及双曲线E的离心率；
（II）记过点P的渐近线为l₁，双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于l₁的直线l₂与双曲线E交于A、B两点．若l₂与抛物线至多有一个公共点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）设切点P的坐标，根据双曲线E的渐近线与抛物线C相切，及P在抛物线C：y=x²+1上，即可求点P的坐标及双曲线E的离心率；
（II）利用点到直线的距离公式，求得△PAB的高，表示出△PAB的面积，根据直线l₂与抛物线C至多有一个交点，确定a的范围，即可求△PAB面积的最大值．

解答：解：（I）设切点P的坐标为(x0，

x

2 0

+1)，则切线的斜率为(x2+1)′|x=x0=2x0…（1分）
因为双曲线E的渐近线y=

b

a

x与抛物线C相切，所以2x0=

b

a

①
又因为

x

2 0

+1=

b

a

x0②
由①、②消去x₀得：(

b

2a

)2+1=

b2

2a2

，即b²=4a²，…（3分）
又c²=a²+b²，所以c²-a²=4a²，c²=5a²，
即e2=

c2

a2

=5，e=

5

．…（4分）
由①、②还可得

x

2 0

+1=2

x

2 0

，即x₀=±1，
又P在第一象限，从而切点P的坐标为（1，2）…%分
（II）由（I）得l₁的方程为y=2x，点F的坐标为(

5

a，0)，双曲线E的方程为4x²-y²=4a²．
因为l₁⊥l₂，所以l₂的方程为y=-

1

2

(x-

5

a)．
由

y=- 1 2 (x- 5 a) 4x2-y2=4a2

消去y得：15x2+2

5

ax-21a2=0．
从而xA+xB=-

2 5

15

a，xAxB=-

7

5

a2．
故|AB|=

1+(- 1 2 )2

•

(xA+xB)2-4xAxB

=

5 4

•

(- 2 5 15 a)2+ 28 5 a2

=

8

3

a．…（7分）
由点到直线的距离公式得△PAB的高h=|a-

5

|．…（8分）
又因为直线l₂与抛物线C至多有一个交点，
由方程组

y=x2+1 y=- 1 2 (x- 5 a)

消去y得2x2+x+2-

5

a=0，故△=12-4×2×(2-

5

a)≤0，
即0＜a≤

3 5

8

…（9分）
所以△PAB的面积S=

4

3

a|a-

5

|=

4

3

a(

5

-a)，(0＜a≤

3 5

8

)．
S=-

4

3

(a2-

5

a)=-

4

3

[(a-

5

2

)2-

5

4

]≤-

4

3

[(

3 5

8

-

5

2

)2-

5

4

]=

25

16

．…（11分）
∴当a=

3 5

8

时，Smax=

25

16

．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．