题目内容

已知在数列{a_n}中， $数学公式$ ，S_n是其前n项和，且 $数学公式$ ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令 $数学公式$ ，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

（1）解：∵a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），S_n=n²a_n-n（n-1）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，∴{ $\text{[math]}$ }是首项为1，公差为1的等差数列
∴ $\text{[math]}$ =1+（n-1）×1=n，∴S_n= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴a_n=1- $\text{[math]}$ ；
（2）证明：由（1）知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ ＜2
分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），结合条件可得{ $\text{[math]}$ }是首项为1，公差为1的等差数列，求出S_n= $\text{[math]}$ ，即可求{a_n}的通项公式；
（2）求得数列{b_n}的通项，分组求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列的递推式，考查等差关系的确定，考查数列求和的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．