Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxcosωx，x∈R，又f(α)=-

1

2

，f(β)=

1

2

，若|α-β|的最小值为

3

4

π，则正数ω的值为（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  2

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而f（α），f（β）求得2ωα-

2π

3

和2ωβ-

2π

3

，进而二者相减求得2ωα-2ωβ 的表达式，进而根据|α-β|的最小值为

3

4

π代入，根据ω为正整数，则可取k₁=k₂=1，求得答案．

解答：解：f(x)=sin2ωx+

3

sinωxcosωx
=

1

2

-

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx
=cos（2ωx-

2π

3

）+

1

2

f（α）=-

1

2

∴cos（2ωα-

2π

3

）=-1；
∴2ωα-

2π

3

=（2k₁+1）π；
∵f（β）=

1

2

∴cos（2ωβ-

2π

3

）=0；
∴2ωβ-

2π

3

=k₂π+

π

2

；
∴2ωα-2ωβ=（2k₁-k₂）π+

π

2

；
∴2ω•|α-β|=（2k₁-k₂） π+

π

2

；
∵|α-β|≥

3π

4

，则
∴2ω≤

4

3π

[（2k₁-k₂）π+

π

2

]=

1

3

[4（2k₁-k₂）+2]
ω≤

1

3

[2（2k₁-k₂）+1]
取k₁=k₂=1，
则可知ω=

1

3

故选D．

点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．