题目内容
(本题满分13分)
设点P是圆x2 +y2 =4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且.
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
(1)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.
【答案】
(Ⅰ).(Ⅱ)(i)
.(ii)直线过定点
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)设点,
,则由题意知
.
由,
,且
,
得.
所以于是
又,所以
.
所以,点M的轨迹C的方程为.……………………(3分)
(Ⅱ)设,
.
联立
得.
所以,,即
.
①
且
………………………………(5分)
(i)依题意,,即
.
.
,即
.
,
,解得
.
将代入①,得
.
所以,的取值范围是
.
……………………(8分)
(ii)曲线与
轴正半轴的交点为
.
依题意,, 即
.
于是.
,即
,
.
化简,得.
解得,或
,且均满足
.
当时,直线
的方程为
,直线过定点
(舍去);
当时,直线
的方程为
,直线过定点
.
所以,直线过定点.
………………………………(13分)
考点:本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系。
点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题,本题利用相关点法求轨迹方程,相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.本题较难。

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