题目内容

(本题满分13分)

设点P是圆x2 +y2 =4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且

(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ)设直线:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点A,B.

(1)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;

(2)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.

 

【答案】

(Ⅰ).(Ⅱ)(i).(ii)直线过定点.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)设点,则由题意知.

,且

.

所以于是

,所以.

所以,点M的轨迹C的方程为.……………………(3分)

(Ⅱ)设 .

联立

.       

所以,,即.    ①

       ………………………………(5分)

(i)依题意,,即.

.

,即.

,解得.

代入①,得.

所以,的取值范围是.   ……………………(8分)

(ii)曲线轴正半轴的交点为.

依题意,, 即.

于是.

,即

.

化简,得.

解得,,且均满足.

时,直线的方程为,直线过定点(舍去);

时,直线的方程为,直线过定点.

所以,直线过定点.   ………………………………(13分)

考点:本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系。

点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题,本题利用相关点法求轨迹方程,相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.本题较难。

 

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