题目内容
【题目】如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= 
，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2． 
（1）证明：AG∥平面BDE．
（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC
CE⊥BC，CE平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），
设平面BDE的法向量为 
=（x，y，z），
=（0，2，﹣2）， 
=（2，0，﹣2），
∴ 
，取x=1，得 =（1，1，1），
∵ 
=（﹣2，1，1），∴ 
=0，∴ ⊥ ，
∵AG平面BDE，∴AG∥平面BDE
（2）解：设平面ADE的法向量 
=（a，b，c），
=（0，1，0）， 
=（﹣2，0，2），
则 
，取x=1，得 =（1，0，1），
由（1）得平面BDE的法向量为 =（1，1，1），
设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ= 
= 
= 
．
∴平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为 ．
【解析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．（2）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．
