Question

7．已知f（x）=lnx+2px+1（x＞0），若p$∈（-\frac{1}{2}，0）$，证明：当x→+∞时，f（x）＜0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，由p的范围，求得-2p的范围，求得单调区间，进而得到极值，也为最值，即可得证．

解答 证明：f（x）=lnx+2px+1（x＞0）的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2p，
由p$∈（-\frac{1}{2}，0）$，则2p∈（-1，0），-$\frac{1}{2p}$∈（1，+∞），
f′（x）＞0解得0＜x＜-$\frac{1}{2p}$，f（x）在（0，-$\frac{1}{2p}$）上递增，
f′（x）＜0解得x＞-$\frac{1}{2p}$，f（x）在（-$\frac{1}{2p}$，+∞）上递减，
则f（x）在（0，+∞）上有极大值，也为最大值，
且为ln（-$\frac{1}{2p}$）＞0，无最小值．
则有当x→+∞，f（x）＜0．

点评 本题考查导数的运用：求极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，属于基础题．