题目内容
已知函数,如果函数
恰有两个不同的极值点
,
,且
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求的最小值,并指出此时
的值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)因为 函数恰有两个不同的极值点
,
,即
有两个零点
,
,则
方程有两个不同的零点
,
,构造函数
,求导
,
当时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数,所以
在
时取得最小值.∴
.(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,即
,所以
,
于是,所以
,
,所以
.所以 当
时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数,所以
在
上的最小值为
,此时
.
试题解析:(Ⅰ)∵ 函数恰有两个不同的极值点
,
,即
有两个零点
,
∴ 方程有两个不同的零点
,
令.
,
当时,
,
是减函数;
当时,
,
是增函数,
∴在
时取得最小值.
∴.
(Ⅱ)∵,即
,
∴
于是,
∴
∵,
∴.
∴ 当时,
,
是减函数;
当时,
,
是增函数
∴在
上的最小值为
,此时
.
考点:1.函数中证明问题;3.函数与不等式的综合应用.

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