Question

已知函数，如果函数恰有两个不同的极值点，，且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值，并指出此时的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析试题分析：（Ⅰ）因为 函数恰有两个不同的极值点，，即有两个零点，，则
方程有两个不同的零点，，构造函数，求导，                         
当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以在时取得最小值．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     
于是，所以，，所以．所以 当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以在上的最小值为，此时.
试题解析：（Ⅰ）∵ 函数恰有两个不同的极值点，，即有两个零点，
∴ 方程有两个不同的零点，  
令．
，
当时，，是减函数；
当时，，是增函数，
∴在时取得最小值．
∴．
（Ⅱ）∵，即，
∴
于是，
∴
∵，
∴．
∴ 当时，，是减函数；
当时，，是增函数
∴在上的最小值为，此时.
考点：1.函数中证明问题；3.函数与不等式的综合应用.