题目内容
【题目】已知函数的定义域为
.
(1)当时,若函数
在区间
上有最大值,求
的取值范围;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)将代入函数
的解析式,利用导数求出该函数的极大值点
,并分析该函数在区间
上的单调性,根据题意得出
以及
,可得出关于实数
的不等式组,解出即可;
(2)求出函数的导数
,分
和
两种情况讨论,分析导函数
在区间
上符号的变化,即可得出该函数的单调区间.
(1)当时,则
,可得
.
解得或
(舍),
当时,
;当
时,
.
所以,函数在
时取得极大值,
函数
在区间
上要有最大值,
,解得
.
因此,实数的取值范围是
;
(2),则
.
①当时,
,则
,此时,函数
的单调递增区间为
;
②当时,令
得
,且
.
方程的两个实根分别为
(舍),
.
此时,当时,
,当
时,
.
此时,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
综上所述,当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,无单调递减区间.
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