Question

（2012•贵溪市模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）把n=1，n=2，n=3分别代入已知递推公式即可求解a₁，a₂，a₃；
（2）解法一：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入整理可求S₁，S₂，S₃，然后猜想S_n，利用数学归纳法进行证明即可
解法二：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1代入整理，得S_nS_n-1-2S_n+1=0，然后构造等差数列

1

Sn-1

，根据等差数列的通项公式可求

1

Sn-1

，进而可求

解答：解：（1）当n=1时，由已知得a12-2a1-a12+1=0
∴a₁=

1

2

同理，可解得 a₂=

1

6

，a₃=

1

12

       （5分）
（2）解法一：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0，（*） （6分）
由（1）可得S1=a1=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

由（*）式可得S3=

3

4

由此猜想：Sn=

n

n+1

   （8分）
证明：①当n=1时，结论成立．
②假设当n=k时结论成立，
即Sk=

k

k+1

那么，由（*）得Sk+1=

1

2-Sk

∴Sk+1=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，
Sn=

n

n+1

对所有正整数n都成立．（12分）
解法二：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=

1

2-Sn-1

∴Sn-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

=

2-Sn

Sn-1-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴数列{

1

Sn-1

}是以

1

S1-1

=-2为首项，以-1为公差的等差数列，
∴

1

Sn-1

=-2+(-1)(n-1)=-n-1
∴Sn=1-

1

1+n

=

n

n+1

 （12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项及和，解法二中的构造等差数列进行求解通项公式的方法要注意体会掌握