Question

（2012•贵溪市模拟）设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对m同余，记为a=b（bmodm），已知a=1+C₂₀¹+C₂₀²2+C₂₀³2²+…+C₂₀²⁰2¹⁹，b=a（bmod10），则b的值可以是（　　）

A．2010

B．2011

C．2012

D．2009

Answer 1

分析：根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a的值，结合b=a（bmod10），比照四个答案中的数字，结合得到答案．

解答：解：∵a=1+C₂₀¹+C₂₀²•2+C₂₀³•2²+…+C₂₀²⁰•2¹⁹
=

1

2

（1+2）²⁰+

1

2

=

1

2

×3²⁰+

1

2

，
∵3²⁰=（3²）¹⁰=（10-1）¹⁰=10¹⁰-

C

1 10

×10⁹+

C

2 10

×10⁸-…-

C

9 10

×10¹+1，其个位是1，
∴3²⁰个位是1，
∴

1

2

×3²⁰+

1

2

个位是1，
∴a个位是1．
若b=a（bmod10），
则b的个位也是1
故选B．

点评：本题考查的知识点是同余定理，其中正确理解a和b对模m同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理求出a的值，也很关键．