Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c，
（1）若c＜b＜1且f（1）=0，证明：-2＜c＜0
（2）在（1）的条件下若f（m）＜0，证明f（m+3）为正数；
（3）若对x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明方程f（x）=

1

2

[f(x1)+f(x2)]必有一个实根属于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的性质结合二次函数的图象证明．
（2）根据二次函数的图象和对称轴之间的关系证明．
（3）根据二次方程根与系数之间的关系证明．

解答：解：（1）f（1）=1+b+c=0，（1分）
∴b+c=-1，∴c＜0（理（2分），文3分）
（若不然c≥0，则b＞c≥0，∴b+c≥0与b+c=-1矛盾），
又-1=b+c＜1+c
∴c＞-2，∴-2＜c＜0（理（4分），文6分）
（2）∵f（1）=0，
∴1为f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一根为c
又f（m）＜0，∴（m-c）（m-1）＜0，
∴1＜m＜1（理（6分），文9分）
∴m+3＞c+3＞-2+3=1，
∵f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴f（m+3）＞f（1）=0（理（8分），文12分）
（3）（理科）令g(x)=f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
则g（x）是二次函数．
∵g(x1)•g(x2)=[f(x1)-

f(x1)+f(x2)

2

][f(x2)-

f(x1)+f(x2)

2

]（理10分）
=-

1

4

[f(x1)-f(x2)]2≤0
又∵f（x₁）≠f（x₂），g（x₁）•g（x₂）＜0
∴g（x）=0的根必有一个属于（x₁，x₂）．
∴方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]必有一个根属于（x₁，x₂）．（理12分）

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，综合性较强．要求熟练掌握二次函数的性质．