题目内容
设各项均为正数的数列的前项和为,且满足,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数,有.
(1);(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)将代入方程得到,结合题中条件(数列的各项均为正数,得到)求出的值,从而得到的值;(2)由十字相乘法结合得到的表达式,然后在的情况下,由求出数列的表达式,并验证是否满足该表达式,从而得到数列的通项公式;(3)解法一是利用放缩法得到
,于是得到,最后利用裂项求和法证明题中的不等式;解法二是保持不放缩,在的条件下放缩为
,最后在和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.
(1)令得:,即,,
,,即;
(2)由,得,
,,从而,,
所以当时,,
又,;
(3)解法一:当时,,
.
证法二:当时,成立,
当时,,
则
.
考点:本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.
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