题目内容
（2006•南京一模）已知函数f（x）=2+
．数列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{an}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，
，
，…；当a=-
时，得到有穷数列-
，0．
（1）求a的值，使得a3=0；
（2）设数列{bn}满足b1=-
，bn=f(bn+1)(n∈N*)，求证：不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有
＜an＜3．
| 1 |
| x |
| 7 |
| 3 |
| 17 |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（1）求a的值，使得a3=0；
（2）设数列{bn}满足b1=-
| 1 |
| 2 |
（3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有
| 7 |
| 3 |
分析：（1）利用递推关系得出a3关于a的表达式，再令a3=0解出即可；
（2）由题知b1=-
，2+
=bn．不妨设a取bn，都可得到an=2+
=2+
=b1=-
，an+1=0，即可；
（3）
＜an＜3?
＜2+
＜3?1＜an-1＜3．
由于(
，3)?（1，3），只要有
＜a2＜3，就有
＜an＜3(n≥3)．利用
＜f(a)＜3，解得即可．
（2）由题知b1=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| bn+1 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（3）
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| an-1 |
由于(
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
解答：解：（1）∵a1=a，an+1=2+
，
∴a2=2+
=
，a3=2+
=
．
要a3=0，即要a=-
．∴，a=-
时，a3=0．
（2）由题知b1=-
，2+
=bn．不妨设a取bn，
∴a2=2+
=bn-1，a3=2+
=2+
=bn-2，
…，
∴an=2+
=2+
=b1=-
，
∴an+1=0，
∴不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}．
（3）
＜an＜3?
＜2+
＜3?1＜an-1＜3．
∵(
，3)?（1，3），∴只要有
＜a2＜3，就有
＜an＜3(n≥3)．
由
，解得：
，即1＜a＜3．
∴a的取值范围是（1，3）．
| 1 |
| an |
∴a2=2+
| 1 |
| a1 |
| 2a+1 |
| a |
| 1 |
| a2 |
| 5a+2 |
| 2a+1 |
要a3=0，即要a=-
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
（2）由题知b1=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| bn+1 |
∴a2=2+
| 1 |
| bn |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| bn-1 |
…，
∴an=2+
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
∴an+1=0，
∴不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}．
（3）
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| an-1 |
∵(
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
由
|
|
∴a的取值范围是（1，3）．
点评：正确理解和应用递推关系式和把问题等价转化是解题的关键．
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