Question

下列说法：①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函数，则实数b=2；②f（x）=

2009-x2

+

x2-2009

既是奇函数又是偶函数；③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．其中所有正确命题的序号是

 

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Answer 1

分析：①由f（x）x∈[2a-1，a+4]是偶函数，则定义域关于原点对称，再由f（-x）=f（x）求解；
②将函数化简得：f（x）=0，x∈R，结论可知．
③设x＜0，由-x＞0，代入x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x），再由f（x）是奇函数求解．
④通过赋值法，求得相应函数值，来寻求f（-x）与f（x）关系．

解答：解：①∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，
则2a-1+a+4=0得a=-1，又∵f（-x）=f（x）可解得b=2；故①正确．
②将函数化简得：f（x）=0，x∈R，∴既是奇函数又是偶函数；故②正确．
③设x＜0，由-x＞0，又∵当x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x）
∴f（-x）=-x（1-x），
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
f（x）=-f（-x）=x（1-x）
∴当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；故③正确．
④令x=y=0，得f（0）=0
再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）
∴f（1）=0
再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）
∴f（-1）=0
再令y=-1
得f（-x）=xf（-1）-f（x）
则，f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．故④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断及其应用，涉及到定义，要注意关于原点对称，涉及到求解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪个区间上设变量．