Question

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用离心率把椭圆方程设成：，代入椭圆上的点可得椭圆方程．

（2）设直线为，，联立直线方程和椭圆方程并消元得到，利用韦达定理把面积表示关于的函数，利用基本不等式求面积的最大值，注意讨论直线的斜率不存在情形．

（1）由题意可得，，故，，

所以椭圆方程为．

将点代入椭圆方程，可得，故，

即有椭圆的方程为．

（2）①当不存在时，时，可得，

；

②当存在时，设直线为，，

将直线代入椭圆方程可得，

，，

由直线与圆相切，可得，

即有，

又

，

当且仅当9即时等号成立，

此时，

即有面积的最大值为，此时直线方程．