Question

(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞－1．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明： （1）当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0； 当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0． 所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立． （2）将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则 f(a)=(b+c)a+bc+1． 当b+c=0时，即b=－c， f(a)=bc+1=－c2+1． 因为|c|＜1，所以f(a)=－c2+1＞0． 当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数． 因为|b|＜1，|c|＜1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(－1)=－b－c+bc+1=(1－b)(1－c)＞0． 由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即 (b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．