Question

根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式
观察法：（1）f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

求f（x）；
换元法：（2）f（x-2）=x²+3x+1求f（x）；
待定系数法：（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
复合函数的解析式：（4）已知f（x）=x²-1，g(x)=

x+1

，求f[g（x）]]和g[f（x）]的解析式，交代定义域．

Answer 1

分析：（1）根据式子(x+

1

x

)2=x2+

1

x2

-2将函数解析式进行变形，再把“x+

1

x

”换成x，注意x的范围；
（2）设t=x-2，则x=t+2，把x代入函数解析式化简后，把t换成x；
（3）设出函数的解析式f（x）=ax+b，代入题中的关系式整理后，使方程两边项的系数对应相等，求出a、b的值；
（4）由题意，求f[g（x）]]时把g（x）作为自变量x代入f（x）的解析式，化简并整理注意求出x的范围，
用同样的方法求g[f（x）]的解析式．

解答：解：（1）∵f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2，∴f（x）=x²-2（x≠0）；

（2）设t=x-2，则x=t+2，代入得：f（t）=（t+2）²+3（t+2）+1=t²+7t+11，
∴f（x）=x²+7x+11；

（3）由题意设f（x）=ax+b，
∵3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3a（x+1）+3b-2a（x-1）-2b=2x+17，即ax+5a+b=2x+17，
则a=2且5a+b=17，解得a=2，b=7；
∴f（x）=2x+7．

（4）∵f（x）=x²-1，g(x)=

x+1

（x≥-1），
∴f[g（x）]]=x+1-1=x（x≥-1），
∵x²-1≥-1，
∴g[f（x）]=

x2-1+1

=|x|，且定义域是[-1，+∞）．

点评：本题的考点是求函数的解析式的方法，考查了观察法、换元法、待定系数法，求复合函数的解析式时用了代入法，注意求出函数的定义域和每种方法适用的范围．