题目内容
已知x=1是函数f（x）=x3-ax（a为参数）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
分析：（Ⅰ）由已知f'（1）=0，解出a后，解得求f（x）的解析式
（Ⅱ）利用导数求出在闭区间[0，2]的最大值与最小值．
（Ⅱ）利用导数求出在闭区间[0，2]的最大值与最小值．
解答：（本小题共13分）…
解：（Ⅰ）由已知f'（x）=3x2-a，…（2分）
因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0．
所以a=3．…（4分）
所以f（x）=x3-3x…（6分）
（Ⅱ）解f'（x）=3x2-3＞0，得x＞1或x＜-1，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上递增；在（-1，1）上递减 …（8分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最小值为f（1）=-2；…（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，所以x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值为f（2）=2．…（12分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值分别为2和-2．…（13分）
解：（Ⅰ）由已知f'（x）=3x2-a，…（2分）
因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0．
所以a=3．…（4分）
所以f（x）=x3-3x…（6分）
（Ⅱ）解f'（x）=3x2-3＞0，得x＞1或x＜-1，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上递增；在（-1，1）上递减 …（8分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最小值为f（1）=-2；…（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，所以x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值为f（2）=2．…（12分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值分别为2和-2．…（13分）
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间]的最大值与最小值．本题是基本题目．
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