题目内容

18、已知x=1是函数f(x)=x3-ax(a为参数)的一个极值点.
(1)求a的值;
(2)求x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值与最小值.
分析:(1)由题设条件,可求出函数的导数,利用f'(1)=0建立方程求出a的值;
(2)得用导数研究出函数在x∈[0,2]上的单调性确定出最值取到的位置,解出其值即可
解答:解:(1)由已知f'(x)=3x2-a,…(2分)
因为x=1是函数f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0.
所以a=3.…(4分)
(2)解f'(x)=3x2-3>0,得x>1或x<-1,
所以,(-∞,-1),(1,+∞)是函数f(x)的递增区间;(-1,1)函数f(x)的递减区间.…(8分)
所以,x∈[0,2]时,函数f(x)的最小值为f(1)=-2;…(10分)
又f(0)=0,f(2)=2,所以x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值为f(2)=2.…(12分)
所以,x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值与最小值分别为2和-2.
点评:本题考查利用导数求闭区间上的最值,解题的关键是理解并能熟练运用导数确定出函数最值的位置,利用导数法研究函数的最值是导数的重要运用,作为求最值的重要工具,掌握求导的方法可以使得解此类题顺利.
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