Question

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0
（1）求m与n的关系式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设函数函数g（x）=

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²，φ（x）=

2

3

x³-x²；试比较g（x）与φ（x）的大小．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；
（2）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（3）构造函数h（x）=）=（

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²）-（

2

3

x³-x²）=x²g（e^x-1-x），求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6；…（3分）
（2）由（1）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]…（5分）
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+

2

m

）单调递减，在（1+

2

m

，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减
同理可得：当m＞0时，f（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，1+

2

m

）单调递减，在（1+

2

m

，+∞）上单调递增．…（9分）
（3）设函数h（x）=）=（

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²）-（

2

3

x³-x²）=x²g（e^x-1-x）
由x²≥0，且（e^x-1-x）′=e^x-1-1，故x≥1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1≥0
令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x≥1为增函数，故m（x）≥m（1）≥0
所以h（x）在[1，+∞），h（x）≥0，故g（x）≥φ（x）
当x＜1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1＜0
令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x＜1为减函数，故m（x）＜m（1）＜0
所以h（x）在[1，+∞），h（x）＜0，故g（x）＜φ（x）
综上，x≥1时，g（x）≥φ（x），x＜1时，g（x）＜φ（x） …（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数极值和单调性的能力，考查构造函数比较大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．