Question

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；
（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t-

1

t

，求出g（t）的最小值．要使

2

m

＜（x-1）-

1

x-1

恒成立即要g（t）的最小值＞

2

m

，解出不等式的解集求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+

2

m

）单调递减，在（1+

2

m

，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+

2

m

）]＜1．（*）
1⁰x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
2⁰x≠1时∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化为

2

m

＜（x-1）-

1

x-1

．
令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-

1

t

，
则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）_min=g（-2）=-2-

1

-2

=-

3

2

．
由（*）式恒成立，必有

2

m

＜-

3

2

?-

4

3

＜m，又m＜0．∴-

4

3

＜m＜0．
综上1⁰、2⁰知-

4

3

＜m＜0．

点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．