Question

【题目】已知命题P：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，
∴x1+x2=m，x1x2=﹣1，
|x1﹣x2|= ，
∴当m∈R时，|x1﹣x2|min=2．
由不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立，
得：a2+4a﹣5≤0，
∴﹣5≤a≤1；
∴命题p为真命题时﹣5≤a≤1．
命题p为假命题时a＞1或a＜﹣5；
命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，
①当a＞0时，显然有解，
②当a=0时，2x﹣1＞0有解，
③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0；
从而命题p：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1
∴命题q是真命题时a＞﹣1，命题q是假命题时a≤﹣1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p与q有且仅有一个为真．（1）当命题p是真命题且命题q是假命题时﹣5≤a≤﹣1；（2）当命题p是假命题且命题q是真命题时a＞1；
综上所述：a的取值范围为：﹣5≤a≤﹣1或a＞1
【解析】化简命题p，q；由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p与q有且仅有一个为真．从而得出a的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用复合命题的真假，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真即可以解答此题．