题目内容
20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F1与椭圆上点P的最短距离为a-c，最长距离为a+c，若F2是其另一焦点，则|PF1|•|PF2|的取值范围是[b2，a2]．分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F1与椭圆上点P的最短距离为a-c，最长距离为a+c．根据椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2a，然后用|PF1|表示出|PF2|后代入到|PF1|•|PF2|中，最后根据二次函数的图象和性质可确定答案．
解答 解：由题意可知，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F1与椭圆上点P的最短距离为a-c，最长距离为a+c．
|PF1|+|PF2|=2a
∴|PF2|=2a-|PF1|（a-c≤|PF1|≤a+c）
∴|PF1|•|PF2|=|PF1|（2a-|PF1|）=-|PF1|2+2a|PF1|=-（|PF1|-a）2+a2
∵a-c≤|PF1|≤a+c
∴|PF1|•|PF2|=-（|PF1|-a）2+a2∈[b2，a2]
故答案为：a-c，a+c，[b2，a2]
点评 本题主要考查椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于2a，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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