题目内容

(1)求证:MN⊥AB;
(2)求二面角P-CD-A的大小;
(3)求三棱锥D-AMN的体积.
分析:(1)利用BCD是矩形,PA⊥平面ABCD,N是PC的中点,可得等腰三角形根据等腰三角形的性质可知MN⊥AB;
(2)先判断∠PDA为二面角P-CD-A的平面角,再利用PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,即可求得二面角P-CD-A的大小;
(3)利用等体积转化,利用VD-AMN=VN-AMD可求三棱锥D-AMN的体积.
(2)先判断∠PDA为二面角P-CD-A的平面角,再利用PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,即可求得二面角P-CD-A的大小;
(3)利用等体积转化,利用VD-AMN=VN-AMD可求三棱锥D-AMN的体积.
解答:解:(1)∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)
又N为PC的中点,∴AN=
PC,BN=
PC
∴AN=BN…(4分)
而M是AB的中点,∴MN⊥AB …(5分)
(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,
又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC …(7分)
Rt△MPA≌Rt△MCB,
∴PA=BC=2
即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)
(3)N到平面AMD的距离d=1,AM=
,AD=2…(12分)
所以VD-AMN=VN-AMD=
d•S△AMD=
d•(
•AM•AD)=
…(14分)
∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)
又N为PC的中点,∴AN=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AN=BN…(4分)
而M是AB的中点,∴MN⊥AB …(5分)
(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,
又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC …(7分)
Rt△MPA≌Rt△MCB,
∴PA=BC=2
即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)
(3)N到平面AMD的距离d=1,AM=
2 |
所以VD-AMN=VN-AMD=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
| ||
3 |
点评:本题的考点是二面角的平面角及求法,主要考查面面垂直性质的运用,考查线线垂直,考查面面角,考查三棱锥的体积.

练习册系列答案
相关题目