题目内容

 如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点,PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD.
(1)求证:MN⊥AB;
(2)求二面角P-CD-A的大小;
(3)求三棱锥D-AMN的体积.
分析:(1)利用BCD是矩形,PA⊥平面ABCD,N是PC的中点,可得等腰三角形根据等腰三角形的性质可知MN⊥AB;
(2)先判断∠PDA为二面角P-CD-A的平面角,再利用PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,即可求得二面角P-CD-A的大小;
(3)利用等体积转化,利用VD-AMN=VN-AMD可求三棱锥D-AMN的体积.
解答:解:(1)∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)
又N为PC的中点,∴AN=
1
2
PC,BN=
1
2
PC

∴AN=BN…(4分)
而M是AB的中点,∴MN⊥AB   …(5分)
(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,
又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC   …(7分)
Rt△MPA≌Rt△MCB,
∴PA=BC=2
即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)     
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)
(3)N到平面AMD的距离d=1,AM=
2
,AD=2
…(12分)
所以VD-AMN=VN-AMD=
1
3
d•S△AMD=
1
3
d•(
1
2
•AM•AD)=
2
3
…(14分)
点评:本题的考点是二面角的平面角及求法,主要考查面面垂直性质的运用,考查线线垂直,考查面面角,考查三棱锥的体积.
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