题目内容

如图,已知ABCD是底角为30°的等腰梯形,AD=2
3
,BC=4
3
,取两腰中点M、N分别交对角线BD、AC于G、H,则
AG
AC
=(  )
分析:以BC所在直线为x轴,B为原点建立如图直角坐标系,可得A、B、C、D各点的坐标.利用梯形的中位线定理,结合题中数据算出G(
3
3
2
1
2
),从而得到向量
AG
=(
3
2
,-
1
2
),再求出向量
AC
的坐标,利用向量数量积的坐标公式,即可算出
AG
AC
的值.
解答:解:以BC所在直线为x轴,B为原点建立如图直角坐标系
可得A(
3
,1),B(0,0),C(4
3
,0)
D(3
3
,1)
∵MN是梯形ABCD的中位线
∴设G(m,
1
2

BG
=(m,
1
2
),
BD
=(3
3
,1)且
BG
BD

可得m×1=
1
2
×
3
3
,解得m=
3
3
2
,G(
3
3
2
1
2

由此可得
AG
=(
3
2
,-
1
2
),
AC
=(3
3
,-1),∴
AG
AC
=
3
2
×3
3
+(-
1
2
)•(-1)=5
故选:C
点评:本题给出底角为30度的等腰梯形,求数量积
AG
AC
的值.着重考查了向量的坐标运算、向量平行的条件和向量数量积的运算公式等知识,属于中档题.
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